誤差の見積

$m$次の回折角$\phi_m$[rad]の測定にともなって測定誤差$\delta\phi_m$が生 じる。更に、$\delta\phi_m$は$\phi_m$を用いて計算される波長$\lambda_m$にも $\delta\lambda_m$の形で現れる（誤差の伝播）。ここでは、$\delta\phi_m$と $\delta\lambda_m$の関係を調べる。

$\phi_m$より得られる波長を$\lambda_m$（測定値）、$m$次の回折角の真値を $\phi_{m}^{(0)}$、測定している光の波長の真値を$\lambda^{(0)}$（真値は次 数によらず一定である）とする。また、格子定数についても$d$を測定値、 $d^{(0)}$を真値、$\delta d$を誤差とする。このとき、

$$\lambda_m=\lambda^{(0)}+\delta\lambda_m = {1\over m}(d^{(0)}+\delta d)\sin(\phi^{(0)}_{m}+\delta\phi_m),$$

$$\simeq {d^{(0)}\over m}\sin\phi^{(0)}_m +{\delta d\sin\phi^{(0)}_m\over m} +{d^{(0)} \delta\phi_m\over m},$$

$$= \lambda^{(0)}+{\delta d\over m}\lambda^{(0)} +{d^{(0)} \delta\phi_m\over m},$$

となる。ここで $\delta d^2, \delta d \delta\phi_m, \delta\phi_m^2$は無視し た。また、 $\phi^{(0)}_m{\rm [rad]}<1,\delta\phi_m\ll1$なので、 $\cos\phi^{(0)}_m\simeq1,$ $\sin\phi^{(0)}_m\simeq\phi^{(0)}_m$と近似で きることを用いた。以上より、 $\delta\lambda_m$は

$$\delta\lambda_m={\delta d\over d^{(0)}}\lambda^{(0)} +{d^{(0)}\delta\phi_m\over m},$$

となることがわかる。

ここで、$\delta\phi_m$は何が原因で生じるのだろうか？まず、望遠鏡内の $\times$字を測定するスペクトルに合わせる際に生じる誤差 $\delta\phi_{m\times}$と、A・Bの目盛りを読む際に生じる誤差 $\delta\phi_{m\vert\vert\vert}$とが考えられる。 $\delta\phi_{m\times}$はスペクトルの 見やすさに大きく依存するので、$m$が大きくなると $\delta\phi_{m\times}$も 大きくなることが期待される。一方、 $\delta\phi_{m\vert\vert\vert}$は次数が変わっても 変わらない。

$$\delta\lambda_m={\delta d\over d^{(0)}}\lambda^{(0)} +{d^{(... ...eft(\delta\phi_{m\times}+\delta\phi_{m\vert\vert\vert}\right),$$

より、もし測定において $\delta\phi_{m\times}\ll\delta\phi_{m\vert\vert\vert}$であれ ば、$m$が大きいほど $\delta\lambda_m$は小さくなり、一方、 $\delta\phi_{m\times}\gg\delta\phi_{m\vert\vert\vert}$であれば、$m$が大きいほど $\delta\lambda_m$は大きくなることがわかる。

課題１

各色で $\delta\phi_{m\times}\ll\delta\phi_{m\vert\vert\vert}$で あったのか、 $\delta\phi_{m\times}\gg\delta\phi_{m\vert\vert\vert}$であったのかを調 べ、口述報告のときに結果と一緒に報告せよ。

課題２

回折格子の分解能とはなにかを考えよ（レポートにて）。