レンズ方程式

前節で述べたように，一般相対性理論によると光は時空に沿った最短の光路を伝 播する。光路は滑らかな曲線となるが，実際にこのような曲線を扱うのは非 常に難しい。幸いレンズ天体による重力が比較的弱い場合(ブラックホールのよ うな天体でない限り)では，この曲線は折れ線で近似できる。この近 似から得られる方程式が，重力レンズ効果での基本方程式である「レンズ方 程式」である。

図 1: 観測者，光源，レンズ天体の位置関係

図 2: 光源面への射影図

図1のように観測者と光源の間にレンズ天体があるとする。観測者-レンズ天体 間，観測者-光源間，レンズ天体-光源間の距離をそれぞれ $D_\mathrm{OL}, D_\mathrm{OS}, D_\mathrm{LS}$とする。 また，レンズ天体を含み視線方向に対して垂直な平面をレンズ面，光源を含み視 線方向に対して垂直な平面を光源面と名付ける。本来重力レンズ効果を受けなけ れば，光源はレンズ天体に対して $\vec{\theta}_\mathrm{S}$の角度(実際の観測 では知ることができないのだが)に見える筈である。しかし，レンズ天体の重力 によって光路がレンズ面で角度$\vec{\alpha}$だけ曲がるので，レ ンズ天体に対して $\vec{\theta}_\mathrm{I}$の角度のところに光源の像が観測 される。この様子を観測者から光源面へ射影したのが図2である。ここで， $\vec{r}_\mathrm{I}=D_\mathrm{OS}\vec{\theta}_\mathrm{I}$と $\vec{r}_\mathrm{S}=D_\mathrm{OS}\vec{\theta}_\mathrm{S}$はそれぞれ光源 面に射影したレンズ天体に対する像と光源の位置である。 $\vec{r}_\mathrm{S}$ と $\vec{r}_\mathrm{I}$の差がレンズ効果によって光路が曲げられた結果で $D_\mathrm{LS}\vec{\alpha}$である。すなわち， $\vec{r}_\mathrm{S}-\vec{r}_\mathrm{I}=-D_\mathrm{LS}\vec{\alpha}$の関係が得られる。一般に，光の曲がり角$\vec{\alpha}$は光がレンズ面のど こを通るのかによってきまる。従って，$\vec{\alpha}$は $\vec{\theta}_\mathrm{I}$の関数で与えられる。先の式の $\vec{r}_\mathrm{I}$を右辺に移項して，両辺を$D_\mathrm{OS}$で割ったもの が，所謂「レンズ方程式」である:

$$\vec{\theta}_\mathrm{S}=\vec{\theta}_\mathrm{I} -{D_\mathrm{LS}\over D_\mathrm{OS}}\vec{\alpha}(\vec{\theta}_\mathrm{I}).$$ (1)